軸對稱與坐標變化教案，中班對稱物品真有趣教案

對稱函數知識點

一、函數自身的對稱性探究

定理1.函數y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是

f(x)+f(2a－x)=2b

證明：（必要性）設點P(x,y)是y=f(x)圖像上任一點，∵點P(x,y)關于點A(a,b)的對稱點P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得證。

（充分性）設點P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故點P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)圖像上，而點P與點P'關于點A(a,b)對稱，充分性得征。

推論：函數y=f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(－x)=0

定理2.函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（證明留給讀者）

推論：函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)=f(－x)

定理3.①若函數y=f(x)圖像同時關于點A(a,c)和點B(b,c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且2|a－b|是其一個周期。

②若函數y=f(x)圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且2|a－b|是其一個周期。

③若函數y=f(x)圖像既關于點A(a,c)成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且4|a－b|是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數y=f(x)圖像既關于點A(a,c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函數y=f(x)圖像直線x=b成軸對稱，

∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函數，且4|a－b|是其一個周期。

二、不同函數對稱性的探究

定理4.函數y=f(x)與y=2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a,b)成中心對稱。

定理5.①函數y=f(x)與y=f(2a－x)的圖像關于直線x=a成軸對稱。

②函數y=f(x)與a－x=f(a－y)的圖像關于直線x+y=a成軸對稱。

③函數y=f(x)與x－a=f(y+a)的圖像關于直線x－y=a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

設點P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)。記點P(x,y)關于直線x－y=a的軸對稱點為P'（x1，y1），則x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴點P'（x1，y1）在函數x－a=f(y+a)的圖像上。

同理可證：函數x－a=f(y+a)的圖像上任一點關于直線x－y=a的軸對稱點也在函數y=f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關于直線x=y成軸對稱。

三、三角函數圖像的對稱性列表

函數對稱中心坐標對稱軸方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)無

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y=tanx的所有對稱中心坐標是(kπ,0)，這明顯是錯的。

四、函數對稱性應用舉例

例1：定義在R上的非常數函數滿足：f(10+x)為偶函數，且f(5－x)=f(5+x),則f(x)一定是（）（第十二屆希望杯高二第二試題）

(A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數

(C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數

解：∵f(10+x)為偶函數，∴f(10+x)=f(10－x).

∴f(x)有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f(x)是以10為其一個周期的周期函數，∴x=0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數。

故選(A)

例2：設定義域為R的函數y=f(x)、y=g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y=x對稱，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函數的圖像關于直線y=x對稱，

∴y=g-1(x－2)反函數是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函數是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,應選（C）

例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)=f(1－x),當－1≤x≤0時，

f(x)=－x，則f(8.6)=_________（第八屆希望杯高二第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x=0是y=f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)對稱軸。故y=f(x)是以2為周期的周期函數，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函數y=sin(2x+)的圖像的一條對稱軸的方程是（）(92全國高考理)(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=

解：函數y=sin(2x+)的圖像的所有對稱軸的方程是2x+=k+

∴x=－,顯然取k=1時的對稱軸方程是x=－故選(A)

例5.設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)=－f(x),當0≤x≤1時，

f(x)=x，則f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直線x=1是y=f(x)對稱軸，故y=f(x)是周期為2的周期函數。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故選(B)

中班對稱物品真有趣教案

感知生活中對稱的事物和對稱美，初步理解軸對稱的概念

能夠運用多種感官感知、理解和表現軸對稱。

活動準備

幼兒操作材料：各種大小、顏色、花紋不同的蝴蝶翅膀、蜻蜓翅膀、每人若干套。

京劇臉譜、樹葉、衣服等制作PPT。

蝴蝶，蜻蜓圖片。

活動過程

一、感知對稱

聽一聽：教師播放PPT進行講述，幼兒傾聽故事。

春天來了，老師帶你們去公園里踏四吧。公園里的花開了，我們看見了美麗的蝴蝶、蜻蜓在花叢中跳起了歡快的舞蹈。我們看一看它們的翅膀是什么樣子的？

突然，下起了大雨，蝴蝶、蜻蜓趕緊拍拍翅膀準備飛到小棚子里去避雨。忽然，它們一起叫了起來：“我丟了一只翅膀，飛不起來了！”（把紙制的蝴蝶、蜻蜓的翅膀分散地布置在地上）雨越下越大，我們幫助它們去找到另一只翅膀吧。

找一找：分別為蝴蝶、蜻蜓找翅膀配對。

幼兒自主的選擇自己喜歡的蝴蝶或蜻蜓，幫助它在布置好的場地尋找另一只翅膀。

說一說：幼兒展示配好對的翅膀，并說明為什么這樣配對。

教師引導幼兒從顏色、形狀、花紋的角度進行講述。

教師小結：蝴蝶和蜻蜓的翅膀以身體為中心線，它們左右兩邊的翅膀大小、顏色、形狀和花紋完全相同，我們把這種形式叫軸對稱。

二、找對稱

找一找

師：我們教室里有很多對稱的東西，請你們在教室里找一找都有哪些物品是對稱的。幼兒自由的在教室中尋找對稱的物品。

師：你們找到什么物品是對稱的？它是怎樣對稱的？幼兒與同伴進行交流。

做一做

師：蝴蝶和蜻蜓的翅膀是對稱的，我們的身體上也有很多部位也是對稱的，請你們來互相找一找。幼兒兩兩一組互相觀察，并找到對方身體上的對稱。

師：我們的動作可以對稱嗎？

幼兒指出教師的對稱

轉自【幼師寶典】官方網站https://www.youshibaodian.com：https://www.youshibaodian.com/a/4ff5434ccfe54fd2ba3d8f694538ef05.html