函數的極值與導數教案 導數求極值和最值方法

已知函數極值點，求極值時，是把極值點代入原函數還是代入該函數的導函數中

當然是"把極值點代入原函數"，不過你你要弄明白=，這個極值點是極大值點還是極小值點，是指點還是最值點？尤其是如果是最值點那就當別論，

如何求函數的極值

導函數極值存在的條件

①函數在處可導，是在處取得極值的必要不充分條件，而不是充要條件。即可導函數的極值點一定滿足，但當時，不一定是極值點。求如的極值點，由得個解，但只有是極值點。一般地，可導函數在兩側的符號相反，則存在極值；如果在兩側的符號相同，則在處無極值。

②可導函數在點處取得極值的充要條件是，且在左右兩側的符號不同。求函數極值的步驟①確定函數的定義域；②求導數；

③求方程的解；

④檢查方程的解的左右兩側導數的符號，確定極值點(最好利用列表法)。如果的符號從的左側到右側由正變負，那么為函數的極大值；如果的符號從的左側到右側由負變正，那么為函數的極小值；如果在的左右兩側符號相同，那么不是函數的極值。

求函數f(x,y)=e^2x(x+y^2+2y)的極值，請問誰會

答案

f對x的偏導數為fx=[2(x+y^2+2y)+1]e^2xf對y的偏導數為fy=2(y+1)e^2x另兩個偏導數均為0得到y=-1x=1/2所以f在（1/2,-1）上取極值代入得到-e/2

極值

函數在其整個定義域內可能有許多極大值或極小值，而且某個極大值不一定大于某個極小值。函數的極值通過其一階和二階導數來確定。對于一元可微函數f(x)，它在某點x0有極值的充分必要條件是f(x)在x0的某鄰域上一階可導，在x0處二階可導，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

1）若f"（x0）<0，則f在x0取得極大值；

2）若f"（x0）>0，則f在x0取得極小值

導數為什么可以求極值

連續函數上某點的導數就是過該點該函數切線的斜率。當導數為零時，切線就是一條水平線。這條切線在切點附近的鄰域內，會將鄰域內除切點外函數上的點分為上下兩部分，有三種情況：

*這些點都在水平切線上，這時切點就是極小點；

*這些點都在水平切線下，這時切點就是極大點；

*這些點在水平切線上下都有，則切點不是極值點；

舉例說明：

上圖中，綠色曲線為y=x2+1，它的導數曲線（紅色）為y'=2x。在(0,1)點綠色曲線的導數為零，于是過該切線i是一條水平線。(0,1)點附近除了(0,1)點外，綠色曲線上的點都在i之上，于是(0,1)就是極小值。這就是第一種情況。

上圖中，綠色曲線為y=-x2+1，它的導數曲線（紅色）為y'=-2x，在(0,1)點綠色曲線的導數為零，于是過該點的切線i是一條水平線。(0,1)點附近除了(0,1)點外，綠色曲線上的點都在i之下，于是(0,1)就是極大值。這就是第二種情況。

上圖中，藍色曲線為y=x3+1，它的導數曲線（橙色）為y'=3x2，在(0,1)點藍色曲線的導數為零，于是過該點的切線i是一條水平線。(0,1)點附近除了(0,1)點外，藍色曲線上的點分置于i之上下，可見(0,1)不是極值點。這就是第三種情況。

上圖中，藍色曲線為y=-x3+1，它的導數曲線（橙色）為y'=-3x2，在(0,1)點藍色曲線的導數為零，于是過該點的切線i是一條水平線。(0,1)點附近除了(0,1)點外，藍色曲線上的點分置于i之上下，可見(0,1)不是極值點。這也是第三種情況。

接下來就是如何判斷三種情況的那種。觀察上面四幅圖，可以發現：

第一種情況，函數的導數曲線在切點的附近鄰域內單調遞增，如y=2x；

第二種情況，函數的導數曲線在切點的附近鄰域內單調遞減，如y=-2x;

第三種情況，函數的導數曲線在切點的附近鄰域內不單調。

于是我們可以根據導函數的在切點附近的單調性來判斷導數為零的切點是否是極值點，是什么極值點。

而我們知道：

單調遞增函數的導數值恒大等于于零；

單調遞減函數的導數值恒小于等于零；

于是我們只要對曲線的導函數再次求導（即，求二階導數），看二階導數在導數為零的切點附近的值是否均大于等于或小于等于零，就可以判斷的導函數的單調性，從而判斷切點的極值性。例如：

圖1中，導函數是y'=2x，再求導y''=2>0,于是y'=2x單調遞增，進而(0,1)點是極小值；

圖2中，導函數是y'=-2x，再求導y''=-2<0,于是y'=-2x單調遞減，進而(0,1)點是極大值；

圖3中，導函數是y'=3x2，再求導y''=6x>=<0，于是y'=3x2不單調，進而(0,1)點不是極值點；圖4和圖3類似。

導數的單調性和極值怎么求

要求導數的單調性和極值，您可以按照以下步驟進行操作：

1.首先，求出函數的導數。導數表示函數在給定點的斜率或變化率。使用微積分的規則來計算函數的導數。

2.確定導數為零的點。在導數為零的點處，函數可能存在極值點（最大值或最小值）或拐點。通過將導數等于零的方程解出，找到這些點。

3.判斷導數的正負性。在導數為零的點附近，觀察導數的符號可以幫助確定函數的單調性。在導數為零點的左側，如果導數為正，則函數是遞增的；如果導數為負，則函數是遞減的。

4.判斷導數的變號區間。通過觀察導數的正負性變化，可以找到函數的極值點。當導數從正數變為負數時，函數可能存在局部最大值；當導數從負數變為正數時，函數可能存在局部最小值。

需要注意的是，這些步驟提供了一種方法來估計函數的單調性和極值，但并不保證所有情況下都能找到準確的結果。對于更復雜的函數和問題，可能需要進一步的數學分析和技巧。同時，圖形化地表示函數的圖像也可以幫助更直觀地理解函數的單調性和極值。

求導數極值和最值的步驟

1、求極大極小值步驟：

求導數f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

檢查f'(x)在方程的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正那么f(x)在這個根處取得極小值。

f'(x)無意義的點也要討論。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)無意義的點，再按定義去判別。

2、求極值點步驟：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用極值的定義（半徑無限小的鄰域f(x)值比該點都小或都大的點為極值點），討論f(x)的間斷點。

上述所有點的集合即為極值點集合。

導數求極值和最值方法

求導數在函數的導數存在的點處，使導數等于0，即可得到函數的極值點。而對于最大值和最小值，需要在求得導數為0的點中找到函數值最大和最小的點。同時，在邊界處也需要進行判斷。如果函數的定義域為有限區間，則需要比較區間兩端點以及導數為0的點的函數值來確定最大值和最小值。較為簡單的情況可以使用一些繪圖和函數變化的技巧來定位。要注意的是，函數可能存在多個極值點和最值點。