函數單調性的教案，一分鐘學會函數單調性

一分鐘學會函數單調性

函數值增加，就是函數單調遞增，函數值減少，就是函數單調遞減

函數的單調性怎么求

取X1和X2。設X1小于X2。把X1和X2分別代入FX中。如果FX1小于FX2。那么這個函數就是單調遞增函數。如果FX1>F（X2）。那么這個函數就是單調遞減函數。

函數單調性的高考要求和地位

函數單調性這部分，是高考的基本內容之一，在考試中可以單獨出題，也可以綜合其他知識，地位還是比較重要的。學不好單調性，會影響后面的導數等知識學習。

1.單調性可以單獨出選擇填空，一般會結合解不等式問題，也可能與奇偶性，周期性，對稱性綜合命題。

2.單調性在導數大題中可能會出現，可以是求單調區間，討論單調性等問題。

3.較復雜的導數題，在構造函數后要研究單調性，然后求出極值最值，從而解決問題。

求函數單調性

函數的單調性指的是函數的增減性。函數在其定義域內的某個區間上的單調性可以分為單調增、單調減、不具有單調性三種情況。

函數的單調性

一、單調遞增與增函數

如果函數y=f(x)，對于定義域內的某個區間D上的任意兩個自變量a、b，當a<b時都有f(a)<f(b)，則稱f(x)在區間D上單調遞增，同時把區間D稱為函數y=f(x)的一個單調遞增區間。

【注】定義中的“當a<b時都有f(a)<f(b)”與“當a>b時都有f(a)>f(b)”等價。注意到a-b≠0，定義中的“當a<b時都有f(a)<f(b)”還與“[f(a)-f(b)]/(a-b)>0”等價。

特別地，當函數y=f(x)在它的整個定義域上單調遞增時，就稱函數f(x)是其定義域上的增函數，常簡稱為增函數。

【注】函數在某個區間上恒增的區間，才是這個函數的單調遞增區間。

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y=x^2當x0時為減函數，x0時為增函數

二、單調遞減與減函數

如果函數y=f(x)，對于定義域內的某個區間D上的任意兩個自變量a、b，當a<b時都有f(a)>f(b)，則稱f(x)在區間D上單調遞減，同時把區間D稱為函數y=f(x)的一個單調遞減區間。

【注】定義中的“當a<b時都有f(a)>f(b)”與“當a>b時都有f(a)<f(b)”等價。注意到a-b≠0，定義中的“當a<b時都有f(a)>f(b)”還與“[f(a)-f(b)]/(a-b)<0”等價。

特別地，當函數y=f(x)在它的整個定義域上單調遞減時，就稱函數f(x)是其定義域上的減函數，常簡稱為減函數。

【注】函數在某個區間上恒減的區間，才是這個函數的單調遞減區間。

三、不具有單調性

如果函數y=f(x)，在其定義域內的某個區間D上既不單調遞增，也不單調遞減，就稱函數f(x)在區間D上不具有單調性。一般地，在某個區間D上不具有單調性的函數，函數圖像在這個區間D上“有升有降，升降共存”。

特別地，當函數y=f(x)在它的定義域上不具有單調性時，就稱函數f(x)不是其定義域上的單調函數。此時的函數圖象在其定義域上也是“有升有降，升降共存”。如：正弦函數y=sinx，x∈R。結合正弦函數圖象可知，正弦函數既有單調遞增區間也有遞減區間，但卻不是定義域R上的單調函數。

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正弦函數與余弦函數的圖象

函數不是定義域上的單調增（減）函數時，往往仍有可能是其定義域的某個子區間上的單調函數。如“y=1/x”不是定義域內的減函數，但卻是“x<0”和“x>0”上的減函數。（注：函數的單調性指的是函數在某個區間上恒增或恒減，函數有增又有減的區間不是這個函數的單調區間。）

所以說，在整個定義域上不具有單調性的函數有可能在定義域的某個子區間上具有單調性。反之，在函數定義域的某個子區間具有單調性的函數未必在其整個定義域上具有單調性。

四、圖象法判斷函數的單調性

1、函數在某個區間單調遞增，等價于從左向右看時，函數在這個區間上的圖象呈‘上升’趨勢；函數是增函數，等價于從左向右看時，函數在其整個定義域上的圖象呈“上升”趨勢。

2、函數在某個區間單調遞減，等價于從左向右看時，函數在這個區間上的圖象呈“下降”趨勢。函數是減函數，等價于從左向右看時，函數在其整個定義域上的圖象呈“下降”趨勢。

五、常用的性質

1、兩個增函數的和還是增函數。

2、兩個減函數的和還是減函數。

3、增函數減去減函數等于增函數。

4、減函數減去增函數等于減函數。

5、復合函數的單調性法則：“同增異減”。即內層函數和外層函數的單調性相同（同增或同減）時，為增函數；內層函數和外層函數的單調性相反（一增一減）時，為減函數；

函數的單調性初中幾年級學的

奇偶性和單調性高中學的，大學也會學；而有界性是大學里高等數學的內容！理解增函數、減函數、單調區間、單調性等概念；掌握增（減）函數的證明和判別；學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；理解函數單調性的概念及證明方法、判別方法，理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；理解奇函數、偶函數的概念及圖象的特征，能熟練判別函數的奇偶性。

函數單調性四則運算法

兩個函數都是增函數則和為增函數，都是減函數時和為減函數，當函數值都是正數時，增函數乘以增函數是增函數，減函數乘以減函數是減函數，當增函數減去減函數時是增函數，減函數減去增函數是減函數。

怎么求函數的單調性

函數的單調性也可以叫做函數的增減性。當函數f(x)的自變量在其定義區間內增大（或減?。r，函數值f(x)也隨著增大（或減?。瑒t稱該函數為在該區間上具有單調性。

1、導數法

首先對函數進行求導，令導函數等于零，得X值，判斷X與導函數的關系，當導函數大于零時是增函數，小于零是減函數。

2、定義法

設x1，x2是函數f(x)定義域上任意的兩個數，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，則此函數為增函數；反知，若f(x1)＞f(x2)，則此函數為減函數.

3、性質法

若函數f(x)、g(x)在區間B上具有單調性，則在區間B上有：

①f(x)與f(x)＋C（C為常數）具有相同的單調性；

②f(x)與c?f(x)當c＞0具有相同的單調性，當c＜0具有相反的單調性；

③當f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)＋g(x)都是增(減)函數；

④當f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)?g(x)當兩者都恒大于0時也是增(減)函數，當兩者都恒小于0時也是減(增)函數；

4、復合函數同增異減法

對于復合函數y＝f[g(x)]滿足“同增異減”法(應注意內層函數的值域)，令t＝g(x)，則三個函數y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有兩個函數單調性相同，則第三個函數為增函數；若有兩個函數單調性相反，則第三個函數為減函數。